それでも正解です。ただし，今回の問題文においては，｢a=2 のとき｣をわざわざ分けなくともどちらかに合併させたほうが解答としてはよりシンプルで良いでしょう。
なお，問題文で｢そのときのｘの値も求めよ｣となっていたら，質問にあった解答のように３つに場合分けする必要があります。なぜなら a=2 における最大値は 4 でそのときの x の値は x=-2,2 となり，最大値を与えるｘの値が唯一2つでてくるからです。
第２回授業動画の冒頭に一覧にしてあります。
日本語としてどのように感じるか，ということを大事にしてください。これらの語については，生活の中の論理的な文章を読んだり，その他の様々な経験を通して覚えるものでしょう。数学の文中特有の使い方というのもありません。数学の文章を作るときに上手に使いたいのであれば，まずは自分で使ってみる。そして解答などを参考にする。このような姿勢でよいのではないでしょうか。
数学科サイトに解説動画をアップしていますので，そちらを視聴してください。
授業でのノート提出はありません。また，演習用ノートと授業用ノートを分けるかどうかは各自に任せたいと思います。
前半の質問については，a>3 のときに，ｘ≦1/2(a-3) と x≧-6 を数直線を用いて図示してみましょう。＊を満たさないことが分かると思います。後半の質問については，-1/2(3-a)=1/{-2(3-a)}=1/2(a-3) ですよ。
√２は正の実数であるので，m，n は自然数でよいのです（よいし後々楽ですよね）。なお，n≠0 を記述する必要性についてですが，互いに素の定義を確認してみてください。m，n が整数であっても，記述する必要がないことがわかるかと思います。
この場合，等号はどちらにつけてもよいです。両方（x<-1，-1≦x≦2，x≧2）につけてもよいです。ただし，どちらにも付けない（x<-1，-1≦x<2，x>2）のは間違いです。
「より参考にすれば」ということですね。人には考え方の癖があるので，「自分のしっくりいく解答がその人にとって記憶しやすい」ので，自分でやりやすいと思う解法がよいです。今後ますます様々な解法に接する機会が増えると思いますが，概ねこのような基準で考えていくとよいと思います。
今のところ，1年次で新たな教材を購入する予定はありません。